Strona główna  »  Artykuły  »  Estymacja funkcji kosztowej

Estymacja funkcji kosztowej

   
Piotr Łodej
pracownik działu controllingu w dużej firmie transportowej

Estymacja funkcji kosztowej

W działalności niemalże każdej firmy jest wiele pozycji kosztowych, których nie do końca rozumiemy i nie do końca jesteśmy w stanie zaplanować, a controlling operacyjny nie jest w stanie stwierdzić czy wielkości jakie one przyjmują są poprawne i wynikają z efektywnego gospodarowania.

Problem ten oczywiście nie dotyczy kosztów stałych sensu stricte oraz zmiennych wprost proporcjonalnie (liniowo) zależnych tylko od jednego czynnika (np. materiały w nieskomplikowanym procesie produkcji). Trudności natomiast pojawiają się w przypadku gdy:

  • nie potrafimy zdefiniować zmiennej niezależnej, która wpływa na wielkość kosztów,
  • zmiennych niezależnych jest więcej niż jedna,
  • funkcja określająca poziom kosztów nie jest funkcją liniową (koszt jednostkowy nie jest stały).

Zajmijmy się ostatnim przypadkiem i przyjrzyjmy mu się bliżej. Do zilustrowania problemu wykorzystamy przykład transportu kolejowego, a konkretniej przypatrzymy się kosztom paliwa w transporcie przy wykorzystaniu lokomotywy spalinowej.

Jest wiele czynników wpływających na poziom zużycia paliwa, a co za tym idzie na jego koszt. Zaliczamy do nich między innymi:

  • ukształtowanie (nachylenie) terenu,
  • zużycie silnika i innych podzespołów maszyny,
  • jakość paliwa,
  • prędkość jazdy,
  • masę składu.

Powszechnie stosowanym wskaźnikiem jednostkowego zużycia paliwa jest ilość litrów w przeliczeniu na 1 brutto-tonokilometr (jednostka ta powstaje w wyniku pomnożenia masy brutto pociągu wyrażonej w tonach, przez drogę na jaką dokonano transportu wyrażoną w kilometrach). Wskaźnik ten łączy w sobie zarówno parametr drogi (podobnie jak w przypadku samochodów osobowych mierzymy zużycie w l/100 km) oraz parametr masy (rozpiętość masy jest znaczna od 100t - sama lokomotywa, do 3200t - 40 wagonów, co istotnie wpływa na zużycie).

Ze względu na trudności w określeniu (zmierzeniu) oddziaływania innych, wcześniej wymienionych, parametrów na zużycie paliwa oraz prawdopodobnie ich niewielkie znaczenie (czynniki statystycznie nieistotne) zajmiemy się próbą zdefiniowania wpływu masy składu na zużycie paliwa.

Tak więc, naszym zadaniem będzie określenie funkcji kosztu paliwa w zależności od masy składu pociągu. Znajomość takiej funkcji ułatwi nam działania w kilku płaszczyznach:

  • pozwoli nam dokładniej określić (zaplanować) koszty w procesie budżetowania oraz kalkulacji tworzonych pod oferty dla klientów,
  • pozwoli nam kontrolować poziom kosztów poprzez jednoznaczne określenie przewozów co do których mamy podejrzenie, że zostały wykonane przy wykorzystaniu zbyt dużych zasobów paliwa, każąc zastanowić się nad przyczynami nieefektywnego gospodarowania - działania podejmowane na poziomie controllingu operacyjnego,
  • znajomość funkcji zużycia paliwa dla różnych maszyn oraz ich wzajemnej konfiguracji, pozwoli na bardziej efektywny dobór sprzętu (tak aby osiągnąć minimalizację kosztów) do konkretnego zadania,
  • pozwoli również na porównanie danych eksploatacyjnych różnego sprzętu a tym samym pozwoli na ustalenie racjonalnej polityki inwestycyjnej pod konkretne cele strategiczne i operacyjne.

Jak widzimy znajomość funkcji dostarczy nam wiedzy, która powinna przełożyć się na wymierne efekty ekonomiczne.

Skoro mamy już wyznaczony cel (estymacja funkcji zużycia paliwa w zależności od masy pociągu) należy zaplanować proces zbierania danych.

Po pierwsze proces zbierania danych będzie polegał na wykonaniu pomiarów zużycia podczas faktycznej pracy przewozowej w warunkach typowych (standardowych czy też uśrednionych). Pomiary należy przeprowadzać pod kontrolą, celem wykluczenia wpływu jakichkolwiek czynników zewnętrznych, przekłamań, czy działaniu osób trzecich.

Technicznie powinno to polegać na stworzeniu prostej tabeli w której odnotujemy początkowy stan poziomu paliwa przed rozpoczęciem jazd, masę składu, przebytą odległość oraz końcową ilość paliwa po zakończeniu jazd (wraz z ewentualnymi uwagami). Pomiary te można zdecydowanie uprościć w wyniku zastosowania elektronicznych systemów kontroli zużycia paliwa pozwalające na zdalny odczyt paliwa, czasu i drogi. Część z tych systemów posiada stosowne zabezpieczenia wykluczające ewentualne kradzieże czy upuszczenia paliwa jak również system satelitarnej nawigacji GPS. Pomiar przy użyciu tych nowoczesnych metod kontroli jest o tyle komfortowy, że nie wymaga od nas fizycznej obecności na maszynie.

Im więcej pomiarów dokonamy tym nasza próba będzie bardziej reprezentatywna a estymowana krzywa o wiele bardziej poprawna.

tabela nr 1. Wyniki pomiaru zużycia paliwa.

tabela nr 2. Jednostkowe zużycie paliwa

W wyniku procesu pomiaru powinniśmy otrzymać tabelę podobną do tabeli nr 1.

W naszym przypadku dokonaliśmy 40 pomiarów. W tabeli dla przykładu umieszczono jedynie pierwszych 10 odczytów.

Kolejnym krokiem jest dostosowanie (obróbka) zebranych danych do postaci odpowiadającej założeniom naszego modelu funkcji kosztów. Ponieważ interesuje nas koszt jednostkowy dlatego też, będziemy liczyć zużycie paliwa w litrach, dla przejazdu na odległość 1 km , przy zadanej masie brutto pociągu wyrażonej w tysiącach ton. Z punktu widzenia naszego modelu interesują nas tylko dwie wielkości:

  • masa brutto pociągu wyrażona w tysiącach ton (przepisujemy bezpośrednio z tabeli 1) - jest to zmienna niezależna
  • oraz zużycie paliwa w litrach na 1 km (ilość litrów z tabeli dzielimy przez odległość w kilometrach) - zmienna zależna

Otrzymujemy wyniki ujęte w tabeli 2.

Kolejnym krokiem jest próba znalezienia zależności pomiędzy tymi dwiema wielkościami. W tym celu rysujemy wykres korelacji (wykres nr 1).

Obserwowaną zależność (brak liniowości w rozkładzie) możemy interpretować w następujący sposób: gdy pociąg posiada mała masę, zużycie paliwa jest na stałym poziomie, a niewielka zmiana masy nie powoduje wzrostu jednostkowego zużycia paliwa. Jeżdżąc w składach o małej masie "marnujemy" moc (zużywamy paliwo pomimo że nie wykonujemy pracy). Dopinając kolejne wagony zużycie wzrasta jednakże jego wzrost będzie prawdopodobnie mniejszy niż wzrost masy pociągu. Gdy będziemy zbliżać się do punktu maksymalnej mocy lokomotywy to pomimo drastycznego wzrostu zużycia paliwa jej moc (a co za tym idzie zdolność ciągnięcia dużej masy) rośnie w niewielkim stopniu. Potwierdzeniem naszych założeń intuicyjnych może być przykład z którym spotykamy się w życiu codziennym - samochody osobowe. Każdy silnik posiada najbardziej ekonomiczny zakres obrotów, przy których zużycie paliwa w przeliczeniu na 1 km jest najmniejsze. Tym zakresem nie są ani obroty najniższe ani tym bardziej te najwyższe, a są to obroty gdzieś ze środkowego przedziału.



wykres 1. Korelacja zużycia paliwa i masy brutto pociągu - dane empiryczne.

Kolejnym krokiem jest próba znalezienia matematycznej postaci krzywej, która w sposób najbardziej wierny oddałaby badaną zależność. Na podstawie wykresu możemy przypuszczać, że jest to funkcja potęgowa. Spróbujmy przyjąć na początek że ma ona postać wielomianu trzeciego stopnia. Tak więc wyjściowa postać naszej funkcji będzie wyglądać następująco:

gdzie:

f(x) - estymowana funkcja zużycia paliwa

x - masa brutto składu wyrażona w tys. ton

*; ; ; - estymowane parametry równania

Funkcje tego typu (funkcje potęgowe) są na tyle specyficzne, że pomimo iż są to funkcje nieliniowe to możemy dokonywać ich estymacji na dwa sposoby. Możemy użyć metod typowych dla estymacji równań nieliniowych, jak również możemy sprowadzić funkcję do postaci liniowej i użyć o wiele prostszych procedur estymacji liniowej. Efekty obu podejść powinny być jednakowe. Dlatego też spróbujemy zastosować najpopularniejszą metodę estymacji liniowej - Klasyczną Metodę Najmniejszych Kwadratów. Jako procedurę przyjmiemy estymację krokową wsteczną.

Najpierw sprowadzamy funkcję do postaci linowej. W tym celu dokonujemy kolejnych obliczeń rozszerzając dotychczasową tabele (tabela nr 3).

Estymacja przy wykorzystaniu KMNK dla osób zaznajomionych z działaniami na macierzach nie powinna stanowić najmniejszego problemu.

• Dane po sprowadzeniu do postaci liniowej.

W tym celu korzystamy tylko z kilku wzorów.

gdzie:

b - macierz estymowanych parametrów

X - macierz masy brutto składu (zawiera X 3 , X 2 , X oraz wyraz wolny)

Y - macierz zużycia paliwa

W wyniku podstawienia stosownych macierzy do wzoru i dokonania obliczeń otrzymujemy pierwszą postać naszego modelu zużycia paliwa.

W kolejnym etapie, po oszacowaniu parametrów będziemy badać ich istotność, a w przypadku gdyby okazały się nieistotne, to będziemy je kolejno wykreślać z równania, aż przyjmie ono postać w której wszystkie parametry są istotne.

Weryfikacji istotności parametru dokonujemy poprzez przyjęcie lub odrzucenie hipotezy, że badany parametr jest istotnie różny od zera. Weryfikacji poddajemy każdy z parametrów. W jednym kroku wykreślamy jedynie jeden parametr, poczym przeliczamy model od początku, aż do momentu otrzymania postaci funkcji w której wszystkie parametry będą istotne. Do tego celu wykorzystujemy statystykę t-Studenta. Szczegóły obliczeń i wykorzystywanych wzorów bez trudu znajdziemy w każdej książce do statystyki.

W drugim kroku estymacji po wykreśleniu statystycznie nieistotnego parametru b 2 otrzymujemy równie

Znów należy zbadać istotność wszystkich parametrów, w wyniku czego wykreślamy kolejny parametr - b 1 . Ostatecznie otrzymujemy równanie o postaci:

Korzystając ze wzoru określamy współczynnik determinacji R 2 . W naszym przypadku wynosi on 98%. Oznacza to że zmienność zużycia paliwa w 98% wyjaśniona jest przez nasz model.

gdzie:

Y - rzeczywista wartość zmiennej objaśnianej, zużycie paliwa

- Średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej

- wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu)

Jak widać funkcja jest bardzo dobrze dopasowana. 98 % odchyleń w jednostkowym zużyciu paliwa jest wyjaśniona przez masę pociągu. Jedynie 2% odchylenia nie jest wyjaśnione przez masę pociągu a jest wynikiem oddziaływania innych czynników. Niestety nie jesteśmy w stanie określić dokładnie wszystkich czynników jakie mogą mieć wpływ na zużycie paliwa. Nie ma to też najmniejszego sensu ponieważ wkład pracy jaki należałoby włożyć w opracowanie takiego modelu jest niewspółmierny w porównaniu z korzyściami jakich należałoby się spodziewać podczas jego wykorzystania.

wykres 2: Estymowana funkcja oraz rzeczywiste zużycie.

Na podstawie znajomości tej funkcji jesteśmy w stanie w miarę dokładnie prognozować jednostkowe zużycie paliwa wyrażone w l/km przy zadanej masie brutto pociągu wyrażonej w tysiącach ton. I tak przy masie pociągu 1 tys. ton zużycie jednostkowe powinno wynieś 3,58 l/km, a przy masie 2,5 tys. ton należy spodziewać się zużycia ponad 3-krotnie większego na każdy kilometr. Widać wyraźnie, że zużycie paliwa nie jest kosztem liniowo zmiennym. 2,5 krotny wzrost masy pociągu powoduje więcej niż 2,5 krotny wzrost zużycia paliwa.

Przejście z funkcji zużycia na funkcję kosztu jest już banalne, po prostu wystarczy pomnożyć całą funkcję przez jednostkową cenę paliwa.

Estymacja poszczególnych funkcji kosztowych przedsiębiorstwa jest pierwszym krokiem do opisania wszystkich zależności kosztowych występujących w przedsiębiorstwie za pomocą równań funkcyjnych. Pozwoli to na matematyczne podejście do zagadnień kosztowych, a tym samym na liczenie kosztów całkowitych oraz wyliczanie wielości zmiennych przy których koszty są najmniejsze lub zysk jest największy. Pozwala też na badanie zmiany jednego z parametrów na zachowanie innych parametrów znacznie ułatwia dokonywanie wszelkiego rodzaju symulacji. Symulacje tego typu, przeprowadzane na papierze, są bardzo bezpieczne i nie niosą za sobą żadnego ryzyka ekonomicznego, w przeciwieństwie do eksperymentów przeprowadzanych na "żywym" przedsiębiorstwie.

Część dobrze znanych podejść czy też szacunków bazujących na obliczeniach matematycznych nie mogą być wykonywane ze względu na nieznajomość funkcji kosztowych. Na przykład weźmy pod uwagę powszechnie stosowany próg rentowności BEP. O ile nasza działalność nie jest przykładem książkowym, a koszty zmienne nie są zmienne liniowo to wyznaczenie progu rentowności bez znajomości funkcji kosztu jest niemożliwe. Jeśli znamy, lub potrafimy nakreślić funkcję kosztu to dokonanie stosownych obliczeń nie stanowi problemu. Jeśli natomiast jej nie znamy to z pomocą przychodzi nam właśnie statystyka oraz ekonometria, które pozwalają nam z większym lub mniejszym błędem estymować tenże funkcje.

Poznanie wszystkich interakcji pomiędzy poszczególnymi czynnikami oraz opisanie ich w postaci równań matematycznych pozwala na dokładne zrozumienie zjawisk zachodzących wewnątrz przedsiębiorstwa.

Estymacji przedstawionej powyżej jako przykład, ze względu na jej niedużą komplikację można bez większych problemów wykonać przy wykorzystaniu dowolnego arkusza kalkulacyjnego. W modelowaniu o większej złożoności bez wątpienia pomocny będzie dobry pakiet statystyczny, np. Statistica lub SPSS, jak również program ułatwiający obliczenia typu MathCad czy MathLab.

Praktyczne zastosowanie i korzyści płynące z wyestymowanej funkcji postaram się przedstawić w kolejnym opracowaniu, w którym zajmę się optymalizacją kosztów poprzez dobór odpowiedniej konfiguracji składów pociągów, tak aby był on możliwie najbardziej efektywny, zapewniając minimalizację kosztu całkowitego przewozu.

2005-07-20